Biết rằng đường thẳng \(d:\,y=-3x+m\) cắt đồ thị...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

Dựa vào hệ thức Vi-et tìm tạo độ trọng tâm G của tam giác OAB.

Thay tọa độ trọng tâm G vào hàm số (C) và tìm ra m.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C):

\(-3x+m=\frac{2x+1}{x-1},\,\,\,(x\ne 1)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow ( - 3x + m)(x - 1) = 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 3x + mx - m - 2x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow  - 3{x^2} + (1 + m)x - m - 1 = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow 3{x^2} - (1 + m)x + m + 1 = 0\,\,\,\,(*)\end{array}\)

Điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

   \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 12(m + 1) > 0 \Leftrightarrow (m + 1)(m - 11) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 11\\m <  - 1\end{array} \right.\)

Giả sử \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình (*) .

Tọa độ các giao điểm: \(A({{x}_{1}};-3{{x}_{1}}+m);\,\,\,B({{x}_{2}};\,-3{{x}_{2}}+m)\)

Khi đó, tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB: \(G\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{3};\frac{-3({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+2m}{3} \right)\)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m+1}{3}\)

=>\(G\left( \frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3} \right)\)

Theo bài ra: \(G\in (C)\)

\(\frac{m-1}{3}=\frac{2.\frac{m+1}{9}+1}{\frac{m+1}{9}-1}\Rightarrow m=\frac{15+\sqrt{325}}{2}\)

Chọn C.