Cho hypebol \((H):4{x^2} - {y^2} = 4\). Tìm điểm \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,{c^2} = {a^2} + {b^2}\). Tọa độ tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right);\,\,{F_2}\left( {c;0} \right)\)

\(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}}  = 0\)

Giải chi tiết:

Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow 4{x_0}^2 - {y_0}^2 = 4\,\,\,(1)\)

\((H):4{x^2} - {y^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 5 \end{array} \right. \Rightarrow {F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right);\,\,{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {M{F_1}}  = \left( { - \sqrt 5  - {x_0}; - {y_0}} \right);\overrightarrow {M{F_2}}  = \left( {\sqrt 5  - {x_0}; - {y_0}} \right)\)

Vì M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông \( \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - \sqrt 5  - {x_0}} \right).\left( {\sqrt 5  - {x_0}} \right) + \left( { - {y_0}} \right).\left( { - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 - 5 + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 5\,\,(2)\)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}4{x_0}^2 - {y_0}^2 = 4\,\\{x_0}^2 + {y_0}^2 = 5\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = \frac{9}{5}\\{y_0}^2 = \frac{{16}}{5}\end{array} \right.\)

Vì nằm trong góc phần tư thứ I nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\\{y_0} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

Chọn: C