Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho:\({{1}^{2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi VT để xuất hiện \({{\log }_{a}}2019\).

Sử dụng công thức \({{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}=\frac{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4}\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(VT={{1}^{2}}.lo{{g}_{a}}2019+{{2}^{2}}.{{\log }_{\sqrt{a}}}2019+.....{{n}^{2}}.{{\log }_{\sqrt[n]{a}}}2019\)

=\({{1}^{3}}.{{\log }_{a}}2019+{{2}^{3}}.{{\log }_{a}}2019+....+{{n}^{3}}.{{\log }_{a}}2019\)

=\(\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+.....+{{n}^{3}} \right).{{\log }_{a}}2019\)

\(VP={{1010}^{2}}{{.2019}^{2}}.{{\log }_{a}}2019\)

Có VT = VP

\(\Leftrightarrow \left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+.....+{{n}^{3}} \right){{\log }_{a}}2019={{1010}^{2}}{{.2019}^{2}}.{{\log }_{a}}2019\)

\(\Leftrightarrow \frac{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4}={{1010}^{2}}{{.2019}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{\left( {{n}^{2}}+n \right)}^{2}}={{\left( 2020.2019 \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n=2020.2019\) vì \({{n}^{2}}+n>0\forall n>0.\)

  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2019 \in \left[ {0; + \infty } \right)\\n =  - 2020 \notin \left[ {0; + \infty )} \right.\end{array} \right.\)

Đáp án A.