1) Giải phương trình: \(x\sqrt {2x + 3}  + 3\left(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1) Điều kiện: \(x \ge \frac{{ - 3}}{2}\)

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow x\sqrt {2x + 3}  + 3(\sqrt {x + 5}  + 1) = 3x + \sqrt {(2x + 3)(x + 5)}  + \sqrt {2x + 3} \\ \Leftrightarrow x\sqrt {2x + 3}  - 3x + 3\sqrt {x + 5}  + 3 - \sqrt {(2x + 3)(x + 5)}  - \sqrt {2x + 3}  = 0\\ \Leftrightarrow x(\sqrt {2x + 3}  - 3) + \sqrt {x + 5} (3 - \sqrt {2x + 3} ) - (\sqrt {2x + 3}  - 3) = 0\\ \Leftrightarrow (\sqrt {2x + 3}  - 3)(x - \sqrt {x + 5}  - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  - 3 = 0\\x - \sqrt {x + 5}  - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  = 3\\x - 1 = \sqrt {x + 5} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = 9\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} + 2x + 1 = x + 5\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} + x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\;\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2}\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: \(x = 3;x = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\)

2) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4y - 13 + \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} + y - 4}  = 0\;\;\;\;\left( 1 \right)\\\left( {x + y - 3} \right)\sqrt y  + \left( {y - 1} \right)\sqrt {x + y + 1}  = x + 3y - 5\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y \ge 4\\x + y \ge  - 1\\y \ge 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {x + y - 3} \right)\sqrt y  + \left( {y - 1} \right)\sqrt {x + y + 1}  = 2\left( {y - 1} \right) + x + y - 3\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 3} \right)\sqrt y  + \left( {y - 1} \right)\left( {\sqrt {x + y + 1}  - 2} \right) - \left( {x + y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 3} \right)\left( {\sqrt y  - 1} \right) + \frac{{(y - 1)(x + y - 3)}}{{\sqrt {x + y + 1}  + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 3} \right)\left( {\sqrt y  - 1} \right) + \frac{{\left( {\sqrt y  + 1} \right)\left( {\sqrt {y - 1} } \right)\left( {x + y - 3} \right)}}{{\sqrt {x + y + 1}  + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y - 3} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {y + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {x + y + 1} }}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y - 3 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;\frac{1}{{\sqrt {y + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {x + y + 1} }} > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 3\\y = 1\end{array} \right..\end{array}\)

TH1: \(x + y = 3\)  thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\)  ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 4(3 - x) - 13 + (x - 3)\sqrt {{x^2} + 3 - x - 4}  = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1 + (x - 3)\sqrt {{x^2} - x - 1}  = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1 = \left( {3 - x} \right)\sqrt {{x^2} - x - 1} \;\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 1 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 2 + \sqrt 5 \\x \le 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 2 - \sqrt 5 ,\) bình phương hai vế của phương trình \(\left( * \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {x^4} + 16{x^2} + 1 - 8{x^3} - 2{x^2} + 8x = ({x^2} - 6x + 9)({x^2} - x - 1)\\ \Leftrightarrow {x^4} - 8{x^3} + 14{x^2} + 8x + 1 = {x^4} - {x^3} - {x^2} - 6{x^3} + 6{x^2} + 6x + 9{x^2} - 9x - 9\\ \Leftrightarrow {x^4} - 8{x^3} + 14{x^2} + 8x + 1 = {x^4} - 7{x^3} + 14{x^2} - 3x - 9\\ \Leftrightarrow  - {x^3} + 11x + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\{x^2} - x - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\;\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{1 + \sqrt {41} }}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{1 - \sqrt {41} }}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \(y = 1\)  thay vào \(\left( 1 \right)\) ta  được:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 9 + (x - 3)\sqrt {{x^2} - 3}  = 0\\ \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3 + \sqrt {{x^2} - 3} ) = 0\\ \Rightarrow x = 3\end{array}\)

Thử lại ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^2} + 1 - 4 = 6 > 0\;\;\left( {tm} \right)\\3 + 1 + 1 = 5 > 0\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;1} \right).\)

Chọn A