Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của AB,...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm thiết diện dựa vào các yếu tố song song để dựng thiết diện và nhận thấy thiết diện là tam giác

- Sử dụng định lí Ta-let đảo để suy ra các đoạn thẳng tỉ lệ.

- Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Giải chi tiết:

Trong (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CI cắt AC tại N \(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( ABC \right)=MN\).

Trong (SAB) qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P \(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SAB \right)=MP.\)

\(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SAC \right)=NP\) và NP // SC.

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MNP.

 Ta có: \(ME\parallel CI\Rightarrow \frac{MN}{CI}=\frac{AM}{AI}\Leftrightarrow \frac{MN}{\frac{AB\sqrt{3}}{2}}=\frac{x}{\frac{AB}{2}}\Leftrightarrow MN=\frac{\frac{AB\sqrt{3}}{2}x}{\frac{AB}{2}}=x\sqrt{3}.\)

\(\begin{array}{l}MP\parallel SI \Rightarrow \frac{{MP}}{{SI}} = \frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{AP}}{{AS}} \Leftrightarrow \frac{{MP}}{{\frac{{AB\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{x}{{\frac{{AB}}{2}}} \Rightarrow MP = \frac{{\frac{{AB\sqrt 3 }}{2}x}}{{\frac{{AB}}{2}}} = x\sqrt 3 \\PN\parallel SC \Rightarrow \frac{{AP}}{{AS}} = \frac{{PN}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{PN}}{{SC}} = \frac{{AM}}{{AI}} \Leftrightarrow \frac{{PN}}{{SC}} = \frac{x}{{\frac{{AB}}{2}}} \Leftrightarrow PN = \frac{{xSC}}{{\frac{{AB}}{2}}} = 2x\,\,\left( {SC = AB} \right)\end{array}\)

Tam giác MNP có MN = MP nên tam giác MNP cân tại M

Chọn C.