Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thang...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

* Dựng thiết diện:

Qua M kẻ MQ song song BC (\(Q \in DC\)), kẻ MN song song SA  (\(N \in SB\))

Qua N kẻ NP song song BC (\(P \in SC\))

Khi đó, \(\left( {MNPQ} \right)\) là mặt phẳng qua M và song song BC, SA

\( \Rightarrow \left( {MNPQ} \right) \equiv \left( \alpha  \right)\)

Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là tứ giác \(MNPQ\).

* Tính diện tích thiết diện:

Ta có: NP // MQ (cùng song song BC) \( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang

\(\Delta SAD\) đều \( \Rightarrow SA = SD = AD = a\)

ABCD là hình thang, \(MQ//BC \Rightarrow \dfrac{{CQ}}{{DC}} = \dfrac{{BM}}{{AB}} = \dfrac{{BN}}{{SB}} = \dfrac{2}{3}\)

\(MN//SA \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{SA}} = \dfrac{{BM}}{{AB}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MN = \dfrac{2}{3}SA = \dfrac{2}{3}a\)

\(NP//BC \Rightarrow \dfrac{{NP}}{{BC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow NP = \dfrac{1}{3}.BC = \dfrac{2}{3}a\) và \(\dfrac{{PC}}{{SC}} = \dfrac{{NB}}{{SB}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{SC}} = \dfrac{{CQ}}{{DC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{PQ}}{{SD}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow PQ = \dfrac{2}{3}SD = \dfrac{2}{3}a\)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BM, CQ.

Giả sử MQ có độ dài bằng x. Khi đó, do IJ là đường trung bình của hình thang BCQM \( \Rightarrow IJ = \dfrac{{MQ + BC}}{2} = \dfrac{{x + 2a}}{2}\)

Do MQ là  đường trung bình của hình thang IJDA \(\begin{array}{l} \Rightarrow 2MQ = IJ + AD \Leftrightarrow 2x = \dfrac{{x + 2a}}{2} + a \Leftrightarrow 4x = x + 2a + 2a \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{3}a\\ \Rightarrow MQ = \dfrac{4}{3}a\end{array}\)

Xét hình thang MNPQ có: \(NP = MN = PQ = \dfrac{2}{3}a,\,\,MQ = \dfrac{4}{3}a\)\( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang cân.

Kẻ MH, NK vuông góc PQ (H, K thuộc PQ)

\( \Rightarrow QH = PK = \dfrac{{PQ - MN}}{2} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}a - \dfrac{2}{3}a}}{2} = \dfrac{a}{3}\)

 \( \Rightarrow MH = \sqrt {M{Q^2} - Q{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{3}a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{1}{3}a} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích hình thang MNPQ: \(S = \dfrac{1}{2}\left( {MN + PQ} \right).MH = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{2}{3}a + \dfrac{4}{3}a} \right).\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\).