Phương trình \(0! + 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Số hạng tổng quát: \(k.k! = \left( {k + 1 - 1} \right).k! = \left( {k + 1} \right)! - k!,\,\,k \in N*\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,0! + 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 362880\\ \Leftrightarrow 0! + \left( {2! - 1!} \right) + \left( {3! - 2!} \right) + \left( {4! - 3!} \right) + ... + \left( {\left( {n + 1} \right)! - n!} \right) = 362880\\ \Leftrightarrow \left( {n + 1} \right)! = 362880 \Leftrightarrow n + 1 = 9 \Leftrightarrow n = 8\end{array}\)

Khi đó,

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = {\left( {{x^2} - {x^3} + 1} \right)^n} = {\left( {{x^2} - {x^3} + 1} \right)^8} = \sum\limits_{i = 0}^8 {C_8^i{{\left( {{x^2} - {x^3}} \right)}^i}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sum\limits_{i = 0}^8 {C_8^i\sum\limits_{k = 0}^i {C_i^k{{\left( {{x^2}} \right)}^k}{{\left( { - {x^3}} \right)}^{i - k}}} }  = \sum\limits_{i = 0}^8 {C_8^i\sum\limits_{k = 0}^i {C_i^k{{\left( { - 1} \right)}^{i - k}}{x^{3i - k}}} } \end{array}\)

Số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển ứng với \(i,\,\,k\) thỏa mãn:  \(\left\{ \begin{array}{l}3i - k = 8\\0 \le k \le i \le 8\\i,k \in N\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3i - 8\\0 \le k \le i \le 8\\i,k \in N\end{array} \right.\)

Do \(k \ge 0\) nên \(3i - 8 \ge 0 \Leftrightarrow i \ge \dfrac{8}{3}\,\,\, \Rightarrow i \ge 3\)

Ta có bảng sau:

Hệ số của \({x^8}\) trong khai triển là: \(C_8^3C_3^1{\left( { - 1} \right)^{3 - 1}} + C_8^4C_4^4{\left( { - 1} \right)^{4 - 4}} = 168 + 70 = 238\).

Chọn: B