Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh \(AB...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng để tìm chiều cao khối chóp, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy và áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( ABC \right).\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & MH\bot AB \\ & SH\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SMH \right)\)

Do đó \(\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SMH}={{60}^{0}}\)

Lại có \(HM=\frac{1}{3}CM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow SH=HM\tan {{60}^{0}}=\frac{a}{2}\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Độ dài đường sinh \(\ell =\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\)

Diện tích xung quanh hình nón là \({{S}_{xq}}=\pi r\ell =\frac{{{a}^{2}}\pi \sqrt{7}}{6}.\)

Chọn A