1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}-4=0\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)  +) Thay \(m=6\) vào phương trình (1) và sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình bậc hai.

+) Tìm điều kiện của m đề phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét để tìm điều kiện của m cho hệ thức bài cho đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Biến đổi phương trình và giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

1) \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}-4=0\ \ \ \left( 1 \right)\) (Với m là tham số).

a)  Thay \(m=6\) vào phương trình ta được \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x-40=0\)

Ta có: \(\Delta '={{3}^{2}}+40=49>0\Rightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt: \({{x}_{1}}=\frac{3+\sqrt{49}}{1}=10;\,\,{{x}_{2}}=\frac{3-\sqrt{49}}{1}=-4\)

Vậy với \(m=6\) thì phương trình (1) có tập nghiệm là: \(S=\left\{ -4;10 \right\}\)

b) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có:  \(\Delta ={{m}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}+4 \right)=5{{m}^{2}}+16\,>0\,\forall \,m\)

\(\Rightarrow \,\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}-4 \\ \end{align} \right.\)

Đặt: \(A=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\)

Ta có: \({{A}^{2}}={{\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|}^{2}}=x_{1}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{A}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\  & ={{m}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}+4 \right)=5{{m}^{2}}+16\ge 16. \\ \end{align}\)\

\(\Rightarrow A^2\) đạt giá trị nhỏ nhất \(=16\Leftrightarrow m=0\)

Vậy để \(A=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(m=0\)

2) \(3\sqrt{x+5}+6\sqrt{5-x}=15-3x+4\sqrt{25-{{x}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align}  & x+5\ge 0 \\  & 5-x\ge 0 \\  & 25-{{x}^{2}}\ge 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -5\le x\le 5\)

\(\left( * \right)\Leftrightarrow 3\sqrt{x+5}+6\sqrt{5-x}=3\left( 5-x \right)+4\sqrt{\left( 5-x \right)\left( 5+x \right)}\)

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 5} = a\;\;\left( {a \ge 0} \right)\\
\sqrt {5 - x} = b\;\;\left( {b \ge 0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = x + 5\\
{b^2} = 5 - x
\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 10.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
3a + 6b = 3{b^2} + 4ab
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
3{b^2} + 4ab - 3a - 6b = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
3{b^2} + 4ab - 3a - 6b + {a^2} + {b^2} = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
{a^2} + 4ab + 4{b^2} - 3\left( {a + 2b} \right) = 10
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
{\left( {a + 2b} \right)^2} - 3\left( {a + 2b} \right) - 10 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
\left[ \begin{array}{l}
a + 2b = - 2\;\;\left( {ktm\;\;do\;\;a \ge 0,\;\;b \ge 0} \right)\\
a + 2b = 5
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
a = 5 - 2b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 5 - 2b\\
25 - 20b + 4{b^2} + {b^2} = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 5 - 2b\\
5{b^2} - 20b + 15 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 5 - 2b\\
\left[ \begin{array}{l}
b = 1\;\;\left( {tm} \right)\\
b = 3\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 3\;\;\left( {tm} \right)\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\;\;\left( {ktm} \right)\\
b = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 5 = {3^2}\\
5 - x = {1^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\;\;\left( {tm} \right).
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=4\)

Chọn B