Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuô...

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết \(AB = 2AD = 2DC = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là \(60^0\). Độ dài cạnh SA là:

A. \(a\sqrt 2 \)

B. \(2a\sqrt 3 \)

C. \(3a\sqrt 2 \)

D. \(a\sqrt 3 \)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Cách giải:

Gọi E là trung điểm của AB. Ta dễ dàng chứng minh được ABCE là hình vuông

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
CE \bot AB\\
CE \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot (SAB) \Rightarrow CE \bot SB\)

Trong (SAB) kẻ \(HE\bot SB\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SB \bot EH\\
SB \bot CE
\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot (CHE) \Rightarrow SB \bot CH\\
\left\{ \begin{array}{l}
(SAB) \cap (SBC) = SB\\
(SAB) \supset EH \bot SB\\
(SAC) \supset CH \bot SB
\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {EH;CH} \right) = \angle CHE = 60^\circ
\end{array}\)

Xét tam giác vuông CEH có \(EH = CE.cot60^\circ = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

Ta có \(\Delta SAB \sim \Delta EHG(g.g) \Rightarrow \frac{{SA}}{{EH}} = \frac{{SB}}{{BE}} \Rightarrow SA = \frac{{EH.SB}}{{BE}} = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {S{A^2} + 4{a^2}} }}{a}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 SA = \sqrt {S{A^2} + 4{a^2}} \Leftrightarrow 3S{A^2} = S{A^2} + 4{a^2} \Leftrightarrow S{A^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow SA = a\sqrt 2 \)

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 3

↑