Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông...

D

- Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ HM vuông góc với SN tại H.

Ta có: \(AM//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\) 

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SM \bot AB,SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) 

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot MN\\
CD \bot SM
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot HM\) 

Mà \(HM \bot SN \Rightarrow  \Rightarrow HM \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = HM \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\) 

\(\Delta SMN\) vuông tại \(M \Rightarrow \frac{1}{{H{M^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{N^2}}} = \frac{1}{{\frac{3}{4}{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HM = \sqrt {\frac{3}{7}} a\)  

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \sqrt {\frac{3}{7}} a = \frac{{\sqrt {21} }}{7}a\)