Cho hàm số  

D

- Hướng dẫn giải

+Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x= 1 và TCN là y= 2;  giao điểm của hai tiệm cận là

 I (1; 2) .

 Lấy điểm $M(a; b) \in \left(C\right)\Rightarrow b=\frac{2a-1}{a-1} (a>1).$

+ Phương trình tiếp tuyến của (C )  tại M là $y=-\frac{1}{{(a-1)}^2}(x-a)+\frac{2a-1}{a-1}$

+ Phương trình  đường thẳng MI  là $y=\frac{1}{{(a-1)}^2}(x-1)+2$

+ Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI  nên ta có

$-\frac{1}{{(a-1)}^2}.\frac{1}{{(a-1)}^2}=-1\iff$

Vì yêu cầu hoành độ và tung độ của M nguyên dương nên điểm cần tìm là  M( 2; 3).

Chọn D.