Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi...

A

- Hướng dẫn giải

Khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được hình trụ có bán kính đáy AB, chiều cao AN và hình nón có bán kính đáy AB, chiều cao \(KO = BK - AN\) 

Ta có: \(AN = \frac{2}{3}AD = \frac{{2a}}{3}\) 

Áp dụng định lý Pitago ta có:

\(\begin{array}{l}
BN = \sqrt {A{B^2} + A{N^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{4}{9}{a^2}}  = \frac{{a\sqrt {13} }}{3}\\
 \Rightarrow BK = \frac{{N{B^2}}}{{BO}} = \frac{{13{a^2}}}{{9.\frac{2}{3}a}} = \frac{{13a}}{6}\\
 \Rightarrow KO = BK - BO = \frac{{13a}}{6} - \frac{{2a}}{3} = \frac{{3a}}{2}\\
 \Rightarrow {V_{non}} = \frac{1}{3}\pi .A{B^2}.KO = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{\pi {a^3}}}{2}\\
 \Rightarrow {V_{tru}} = \pi .A{B^2}.AN = \pi .{a^2}.\frac{2}{3}a = \frac{{2\pi {a^3}}}{3}\\
 \Rightarrow V = {V_{non}} + {V_{tru}} = \frac{{\pi {a^3}}}{2} + \frac{{2\pi {a^3}}}{3} = \frac{{7\pi {a^3}}}{6}
\end{array}\)