Tìm tất cả các giá trị khác nhau của tham số m để...

C

- Hướng dẫn giải

ĐK: \({5^{ - x}} \ne m.\) 

Ta có: \(y = \frac{{{5^{ - x}} + 2}}{{{5^{ - x}} - m}} = \frac{{\frac{1}{{{5^x}}} + 2}}{{\frac{1}{{5{}^x}} - m}} = \frac{{{{2.5}^x} + 1}}{{ - m{5^x} + 1}}\) 

Đặt \({5^x} = t(t > 0) \Rightarrow y = \frac{{2t + 1}}{{ - mt + 1}}\left( {t \ne \frac{1}{m}} \right).\) Với \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow t \in (0;1)\) 

Để hàm số \(y = \frac{{{5^{ - x}} + 2}}{{{5^{ - x}} - m}}\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) thì hàm số \(y = \frac{{2t + 1}}{{ - mt + 1}}\) đồng biến trên (0;1).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' = \frac{{2 + m}}{{{{( - mt + 1)}^2}}} > 0\\
\frac{1}{m} \notin (0;1)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 + m > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{m} \le 0\\
\frac{1}{m} \ge 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m >  - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
m \le 0\\
0 \le m \le 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2 < m \le 0\\
0 \le m \le 1
\end{array} \right. \Rightarrow  - 2 < m \le 1.\)