Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm...

A

- Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của SC.

Tam giác SBC cân tại \(B \Rightarrow BM \bot SC\).

Xét tam giác SBD có SO là trung tuyến đồng thời là đường cao

\( \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại \(S \Rightarrow SB = SD = a\) 

\(\Delta SCD\) có \(SD = CD = a \Rightarrow \Delta SCD\) cân tại \(D \Rightarrow DM \bot SC\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\
\left( {SBC} \right) \supset BM \bot SC\\
\left( {SCD} \right) \supset DM \bot SC
\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {BM;DM} \right)\) 

Xét chóp B.SAC ta có \(BC = BS = BA = a \Rightarrow \) Hình chiếu của B lên (SAC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAC\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BO \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\
BO \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow BO \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAC\). 

  \( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(S \Rightarrow AC = 2SO = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow SA = SC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) 

Xét tam giác vuông OAB có \(OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{2{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow BD = 2OB = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) 

Xét tam giác vuông \(BCM:BM = \sqrt {B{C^2} - M{C^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} = DM\) 

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác BDM ta có:

\(\cos \angle BMD = \frac{{B{M^2} + D{M^2} - B{D^2}}}{{2BM.DM}} = \frac{{\frac{{2{a^2}}}{3} + \frac{{2{a^2}}}{3} - \frac{{4{a^2}}}{3}}}{{2.\frac{{2{a^2}}}{3}}} = 0 \Rightarrow \angle BMD = {90^0}\) 

Vậy \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = {90^0}\)