Cho a, b, c > 1. Biết rằng biểu thức \(P = {\lo...

C

- Hướng dẫn giải

Do a, b, c > 1 nên \({\log _a}b,{\log _c}a,{\log _b}c > 0\) 

\(\begin{array}{l}
P = \log {}_a(bc) + lo{g_b}(ac) + 4{\log _c}(ab) = lo{g_a}b + {\log _a}c + {\log _b}a + {\log _b}c + 4{\log _c}a + 4{\log _a}b\\
 = \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right) + \left( {{{\log }_a}c + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + 4{{\log }_c}b} \right)\\
 = \left( {{{\log }_a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{{\log }_c}a}} + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + \frac{4}{{{{\log }_b}c}}} \right)\\
 \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.\frac{1}{{{{\log }_a}b}}}  + 2\sqrt {\frac{1}{{{{\log }_c}a}}.4{{\log }_c}a}  + 2\sqrt {{{\log }_b}c.\frac{4}{{{{\log }_b}c}}}  = 2 + 4 + 4 = 10.
\end{array}\) 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
{\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\\
\frac{1}{{{{\log }_c}a}} = 4{\log _c}a\\
{\log _b}c = \frac{4}{{{{\log }_c}b}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\log {}_ab = 1\\
{\log _c}a = \frac{1}{2}\\
\log {}_bc = 2
\end{array} \right.\) 

Vậy,  đạt giá trị nhỏ nhất là 10 khi \({\log _b}c = 2 \Rightarrow m = 10,n = 2 \Rightarrow m + n = 12\)