Cho hàm số \(f\left( x \rig...

D

- Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R \ {-2}

• Xét m = -4 thì f(x) = 2 thỏa mãn.

• Xét m khác 4. Ta có \(y' = \frac{{4 + m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) nên hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng của tập xác định. Do đó hàm số đơn điệu trên [0;2].

Ta có \(f\left( 0 \right) = - \frac{m}{2};\,f\left( 2 \right) = \frac{{4 - m}}{4}\), giao điểm của đồ thị f(x) với trục hoành là \(\left( {\frac{m}{2};0} \right)\).

TH1: \(0 \le \frac{m}{2} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\). Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{4 - m}}{4}\) hoặc \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{m}{2}\).

Theo giả thiết ta phải có \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{4 - m}}{4} = 4}\\{\frac{m}{2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 12}\\{m = 8}\end{array}} \right.\) (loại).

TH2: \(\frac{m}{2} \notin \left[ {0;2} \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{m > 4}\end{array}} \right.\). Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| { - \frac{m}{2}} \right| + \,\,\left| {\frac{{4 - m}}{4}} \right| = 4\)

\(\, \Leftrightarrow 2\left| m \right| + \left| {4 - m} \right| = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 4}\\{m = \frac{{20}}{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Vậy có 3 giá trị của  thỏa mãn bài toán.