Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh đáy bằng...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Gắn hệ tọa độ $Oxyz$ với $O$ là tâm hình vuông đáy, $\overrightarrow {OC}$ cùng hướng $\overrightarrow i$, $\overrightarrow {OD}$ cùng hướng $\overrightarrow j$ và $\overrightarrow {OS}$ cùng hướng $\overrightarrow k$.

- Xác định tọa độ các điểm cần thiết và tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, giả sử $SO = b$ ta có: $OC = OD = OA = OB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ $\Rightarrow C\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),A\left( { - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),$$B\left( {0; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),S\left( {0;0;b} \right)$.

Gọi $K$ trung điểm $SA$ thì $K\left( { - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};0;\dfrac{b}{2}} \right)$, $E$ đối xứng với $D$ qua $K$ nên $E\left( { - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};b} \right)$.

$M$ là trung điểm của $AE \Rightarrow M\left( { - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};\dfrac{b}{2}} \right)$.

$N$ là trung điểm của $BC \Rightarrow N\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};0} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \left( {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4};0; - \dfrac{b}{2}} \right),\overrightarrow {SC}  = \left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - b} \right),\overrightarrow {SN}  = \left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}; - \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}; - b} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;\dfrac{{ab\sqrt 2 }}{2};0} \right)$

Suy ra $d\left( {MN,SC} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {SC} } \right].\overrightarrow {SN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {SC} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {0 - \dfrac{{{a^2}b}}{4} + 0} \right|}}{{\sqrt {0 + \dfrac{{2{a^2}{b^2}}}{4} + b} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}$.

Chọn A.