Tìm các số tự nhiên \(x,y,z,t\) sao cho \(27{x^4}...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính chia hết của t với 3 rồi lần lượt suy ra tính chia hết của x,y,z.

Suy ra nghiệm thứ 2 của phương trình, đánh giá rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có \(27{x^4} + 9{y^4} + 3{z^4} = {t^4}\,\,\left( 1 \right).\)

\( \Rightarrow {t^4}\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow t\,\, \vdots \,\,3\) ( vì 3 là số nguyên tố)

+) \(\left( {0;0;0;0} \right)\) là nghiệm của phương trình đã cho suy ra ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0};{t_0}} \right) \ne \left( {0;0;0;0} \right)\) là nghiệm của phương trình (1).

Khi đó \(27x_0^4 + 9y_0^4 + 3z_0^4 = t_0^4\,\,\,\left( 2 \right)\)

            \(\begin{array}{l} \Rightarrow t_0^4\,\, \vdots \,\,3\\ \Rightarrow {t_0}\,\, \vdots \,\,3\\ \Rightarrow {t_0} = 3{t_1}\left( {{t_1} \in \mathbb{N}} \right)\end{array}\)

Thay \({t_0} = 3{t_1}\) vào phương trình (2) rồi chứng minh tương tự ta có :

                          \(\begin{array}{l}{x_0} = 3{x_1}\\{y_0} = 3{y_1}\\{z_0} = 3{z_1}\end{array}\)  \(\left( {{x_1},{y_1},{z_1} \in \mathbb{N}} \right)\)

Khi đó ta có phương trình \(27x_1^4 + 9y_1^4 + 3z_1^4 = t_1^4\)

Suy ra \(\left( {{x_1};{y_1};{z_1};{t_1}} \right)\) cũng là một nghiệm của phương trình (1) mà \({t_1} < {t_0}\)( Mâu thuẫn).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {0;0;0;0} \right)\).