Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {1 - {m^2}} \righ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị, xác định 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

+) Nhận xét 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác cân, tính diện tích tam giác và đánh giá, tìm GTLN của diện tích đó.

Giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 4{x^3} - 4\left( {1 - {m^2}} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + {m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1 - {m^2}\end{array} \right.\)

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu (tức là có 3 cực trị phân biệt) thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 1 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = m + 1 \Rightarrow A\left( {0;m + 1} \right) \in Oy\\x = \sqrt {1 - {m^2}}  \Rightarrow y =  - {m^4} + 2{m^2} + m \Rightarrow B\left( {\sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right)\\x =  - \sqrt {1 - {m^2}}  \Rightarrow y =  - {m^4} + 2{m^2} + m \Rightarrow C\left( { - \sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right)\end{array} \right.\).

Do \(A \in Oy,\,\,B,C\) đối xứng nhau qua Ox, do đó tam giác \(ABC\) cân tại A.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AH = \left| { - {m^4} + 2{m^2} + m - m - 1} \right| = \left| { - {m^4} + 2{m^2} - 1} \right| = {\left( {1 - {m^2}} \right)^2}\\BC = 2\sqrt {1 - {m^2}} \end{array} \right\}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}{\left( {1 - {m^2}} \right)^2}.2\sqrt {1 - {m^2}}  = {\sqrt {1 - {m^2}} ^5}\end{array}\)

Ta có \({m^2} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {m^2} \le 1 \Leftrightarrow {S_{ABC}} \le 1\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m = 0\).

Vậy \({S_{ABC}}\) lớn nhất bằng \(1\) khi và chỉ khi \(m = 0\).

Chọn B.