1. Tính diện tích toàn phần của m...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích các mặt bên hoặc bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ bằng tổng các diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

2. a) Chứng minh \(\Delta ABE \sim \Delta ACF\) theo trường hợp góc.góc, suy ra các tỉ số đồng dạng và từ đó chứng minh  \(\Delta AEF \sim \Delta ABC\)

b) Gọi \(AH \cap BC = \left\{ D \right\}\). Chứng minh \(BD + CD = BC;\,\,BH.BE = BC.BD;\,\,CH.CF = BC.CD\) từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

1. Tính diện tích toàn phần của một lăng trụ đứng có chiều cao bằng 10cm, đáy là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông bằng 5cm và 12cm.

Gọi đáy của lăng trụ đứng là tam giác ABC vuông tại \(A,AB{\rm{ }} = 5cm,AC{\rm{ }} = 12cm.\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169 \Rightarrow BC = 13cm\)

Diện tích đáy là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB.AC}}{2} = \frac{{5.12}}{2} = 30\,\,(c{m^2})\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đó là:

\({S_{xq}} = \left( {AB + AC + BC} \right).10 = \left( {5 + 12 + 13} \right).10 = 300\,\,(c{m^2})\)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{\Delta ABC}} = 300 + 2.30 = 360\,\,(c{m^2})\)

2. Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABE \sim \Delta ACF\) và \(\angle AEF = \angle ABC\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,chung\\\angle AEB = \angle AFC = {90^o}\\ \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta ACF\,\,\,\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\end{array}\)

 Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,chung\\\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle AEF = \angle ABC\) (2 góc tương ứng)

b) \(BH.BE + CH.CF = B{C^2}\)

Gọi \(AH \cap BC = \left\{ D \right\}.\) Vì H là giao của hai đường cao BE và CF

\( \Rightarrow \) H là trực tâm trong tam giác ABC

\( \Rightarrow AH \bot BC \Rightarrow AD \bot BC\)

Mà tam giác ABC nhọn \( \Rightarrow \) D nằm giữa B và C

\( \Rightarrow BD + CD = BC\) 

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta BEC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle B\,\,\,chung\\\angle BDH = \angle BEC = {90^o}\\ \Rightarrow \Delta BDH \sim \Delta BEC\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{BE}} \Rightarrow BH.BE = BC.BD\end{array}\)

Chứng minh tương tự \( \Rightarrow CH.CF = BC.CD\)

\( \Rightarrow BH.BE + CH.CF = BC.BD + BC.CD = BC.(BD + CD) = BC.BC = B{C^2}\) (đpcm)