Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Biểu diễn tọa độ \(M\) theo tham số \(t.\)

+ Tính \(\overrightarrow {AM} \) , dựa vào điều kiện vuông góc \(\overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} \, \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}}  = 0\), từ đó tìm được \(t\) và tìm được \(\overrightarrow {AM} .\)

+ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm \(A,M\) nhận \(\overrightarrow {AM} \) làm VTCP.

Giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{{x - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 6}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}}  = \left( { - 2;2;1} \right)\)

Gọi phương trình cần tìm là \(\left( \Delta  \right)\)

Gọi \(M\) là giao điểm của \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( {d'} \right)\). Suy ra \(M\left( {t; - t;2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {t; - t - 1;1} \right)\), \(\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}}  = \left( { - 2;2;1} \right)\).

Lại có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}}  = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2t - 2\left( {t + 1} \right) + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 4t = 1\)\( \Leftrightarrow t =  - \dfrac{1}{4}\).

Do đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - \dfrac{1}{4}; - \dfrac{3}{4};1} \right)\).

\(\left( \Delta  \right)\) qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u  = 4\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1; - 3;4} \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 1}}{4}\).

Chọn C.