a) Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa mãn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và biến đổi biểu thức để chứng minh.

b) Tìm mối liên hệ về diện tích của tứ giác ACED với các tam giác con của tứ giác.

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD, tính AH, từ đó tính diện tích tứ giác ACED.

Giải chi tiết:

a) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

   \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{x+y+z}{1}=x+y+z\) (Theo giả thiết a + b + c = 1)

\(\Rightarrow {{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\left( \frac{y}{b} \right)}^{2}}={{\left( \frac{z}{c} \right)}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}\)  (1)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta lại có:

            \({{\left( \frac{x}{a} \right)}^{2}}={{\left( \frac{y}{b} \right)}^{2}}={{\left( \frac{z}{c} \right)}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{1}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\)(Theo giả thiết \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1\))         (2)

Từ (1) và (2) ta có: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ \ \ \left( dpcm \right)\)

b)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta EB\text{D}\) ta có:

AB = EB (theo gt)

BD = BC (theo gt)

\(\angle ABC=\angle EB\text{D}\) (cặp góc đối đỉnh bằng nhau)

\(\Rightarrow \Delta ABC=\Delta EB\text{D}\left( c-g-c \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AB\text{D}=\Delta EBC\ \left( c-g-c \right)\)

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta AB\text{D}}}={{S}_{\Delta EB\text{D}}}+{{S}_{\Delta EBC}}\) \(\Rightarrow {{S}_{\Delta E\text{D}C}}={{S}_{\Delta AC\text{D}}}=\frac{1}{2}{{S}_{AC\text{ED}}}\)

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD (\(H\in DC\))

Xét tam giác vuông AHB ta có:

            \(\angle BAH+\angle ABH={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle BAH+{{60}^{0}}={{90}^{0}}\Leftrightarrow \angle BAH={{30}^{0}}\)

\(\Rightarrow BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.2=1\ cm\) (Tam giác vuông có một góc bằng 30⁰ thì cạnh đối diện góc đó bằng nửa cạnh huyền)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông AHB, ta có:

\(A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}+{{1}^{2}}={{2}^{2}}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=4-1=3\Leftrightarrow AH=\sqrt{3}\ cm\)

Vậy diện tích tứ giác ACED là: \({{S}_{AC\text{ED}}}=2.{{S}_{\Delta AC\text{D}}}=2.\frac{1}{2}.AH.DC=AH.2BC=\sqrt{3}.2.4=8\sqrt{3}\ c{{m}^{2}}\)

Chọn C

.