Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển biểu thức \(x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Sử dụng khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\) để tìm hệ số của \({x^5}\) trong từng khai triển.

+ Cộng các hệ số thu được ta được kết quả cần tìm.

Giải chi tiết:

Ta có \(x{\left( {3x - 1} \right)^6} = x\left[ {\sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k.{{\left( {3x} \right)}^{6 - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}} } \right] = x\left[ {\sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{{.3}^{6 - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}.{x^{6 - k}}} } \right]\) \( = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{{.3}^{6 - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}.{x^{7 - k}}} \)

Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển này ứng với \(7 - k = 5 \Rightarrow k = 2\). Hệ số là \(C_6^2{.3^{6 - 2}}.{\left( { - 1} \right)^2} = 1215\)

Lại có \({\left( {2x - 1} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {2x} \right)}^{8 - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{2^{8 - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}.{x^{8 - k}}} \)

Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển này ứng với \(8 - k = 5 \Rightarrow k = 3.\) Hệ số là \(C_8^3{.2^{8 - 3}}.{\left( { - 1} \right)^3} =  - 1792\)

Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \(x{\left( {2x - 1} \right)^6} + {\left( {3x - 1} \right)^8}\) là \(1215 + \left( { - 1792} \right) =  - 577.\)

Chọn B.