Cho a > 0, b > 0 thoả mãn \({\log _{4a + 5b...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) > {\log _{4a + 5b + 1}}1 = 0\\{\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) > {\log _{8ab + 1}}1 = 0\end{array} \right.\), sử dụng BĐT Cô-si và sử dụng công thức \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Giải chi tiết:

Ta có \(4{\rm{a}} + 5b + 1 > 1;\,\,16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1 > 1;\,\,8{\rm{a}}b + 1 > 1\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) > {\log _{4a + 5b + 1}}1 = 0\\{\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) > {\log _{8ab + 1}}1 = 0\end{array} \right.\)

Áp dụng BĐT Cô – si ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\\ \ge 2\sqrt {{{\log }_{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right).{{\log }_{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)}  = 2\sqrt {{{\log }_{8ab + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right)} \end{array}\)

Lại có \(16{a^2} + {b^2} + 1 \ge 2\sqrt {16{a^2}{b^2}}  + 1 = 8ab + 1 \Rightarrow {\log _{8ab + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) \ge {\log _{8ab + 1}}\left( {8ab + 1} \right) = 1\)

\( \Rightarrow {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) \ge 1\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) = {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\\4a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = {\log _{2{b^2} + 1}}\left( {6b + 1} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = \frac{1}{{{{\log }_{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right)}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\6b + 1 = 2{b^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + 2b = \frac{3}{4} + 2.3 = \frac{{27}}{4}\end{array}\)

Chọn C.