Trong không gian \(Oxyz,\) cho đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) cần tìm thuộc \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(\Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right].\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\Delta \Rightarrow d\) đi qua \(M.\)

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( a;\ b;\ c \right)\) có phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & x={{x}_{0}}+at \\ & y={{y}_{0}}+bt \\ & z={{z}_{0}}+ct \\\end{align} \right..\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta :\ \left\{ \begin{align}  & x=t \\ & y=-1+2t \\& z=1+t \\\end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right)\) và đi qua \(A\left( 0;-1;\ 1 \right).\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)\) thuộc \(\Delta \Rightarrow M\left( t;\ -1+2t;\ 1+t \right).\)

\(M\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( P \right)\Rightarrow t-2\left( -1+2t \right)-\left( 1+t \right)+3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M\left( 1;\ 1;\ 2 \right).\)

Đường thẳng \(d\) cần tìm thuộc \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(\Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right].\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
{ - 2}&{ - 1}
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
1&{ - 2}
\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;\;2;\; - 4} \right) = - 2\left( {0; - 1;\;2} \right).\)

Vậy \(d:\ \ \left\{ \begin{align}  & x=1 \\ & y=1-t \\ & z=2+2t \\\end{align} \right..\)

Chọn A.