Cho tứ diện ABCD có thể tích là V. Điểm M thay đổ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính thể tích của tứ diện vuông.

Giải chi tiết:

Giả sử tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc \(\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{AB.AC.AD}{6}.\)

Khi đó, tứ diện MNPQ có MN, MP, MQ đôi một vuông góc \(\Rightarrow {{V}_{MNPQ}}=\frac{MN.MP.MQ}{6}.\)

Ta chứng minh được \(\frac{MN}{AB}+\frac{MP}{AC}+\frac{MQ}{AD}=1\)  (dựa vào định lý Ta-let), khi đó:

\(\begin{align}  & MN.MP.MQ=AB.AC.AD.\frac{MN}{AB}.\frac{MP}{AC}.\frac{MQ}{AD} \\  & \le AB.AC.AD.\frac{{{\left( \frac{MN}{AB}+\frac{MP}{AC}+\frac{MQ}{AD} \right)}^{3}}}{27} \\  & =\frac{AB.AC.AD}{27}. \\ \end{align}\)

Vậy \({{V}_{MNPQ}}=\frac{MN.MP.MQ}{6}\le \frac{1}{27}.\frac{AB.AC.AD}{6}=\frac{V}{27}.\)

\(\Rightarrow {{V}_{\max }}=\frac{V}{27}.\)

Chọn A.