Cho tứ diện ABCD có...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của CD ta có \(AE\bot CD\Rightarrow AE\bot \left( BCD \right)\).

Gọi F là trung điểm của AB ta có \(CF\bot AB;\,\,DF\bot AB\Rightarrow \widehat{\left( ABC;ABD \right)}=\widehat{\left( CF;DF \right)}\) 

Đặt \(CD=x\) ta có : \(AE=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}=BE\)

Xét tam giác vuông cân ABE có

\(AB=AE\sqrt{2}=\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}\Rightarrow EF=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}\)

Để \(\widehat{\left( ABC;ABD \right)}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{\left( CF;DF \right)}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta FCD\)vuông tại F \(\Rightarrow EF=\frac{1}{2}CD\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}=\frac{x}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4} \right)={{x}^{2}}\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}=\frac{3}{2}{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{2a}{\sqrt{3}}\).

Chọn A.