Cho phương trình \(\left( m-5 \right){{9}^{x}}+2\l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, đưa về biện luận nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số

Giải chi tiết:

Đặt \(t={{3}^{x}}>0,\) khi đó \(\left( m-5 \right){{9}^{x}}+2\left( m-1 \right){{3}^{x}}-m+1=0\Leftrightarrow \left( m-5 \right){{t}^{2}}+2\left( m-1 \right)t-m+1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \)\(\left( * \right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt \({{t}_{1}},\,\,{{t}_{2}}\)

Khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 5 \ne 0\\\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0;{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 5} \right)\left( {1 - m} \right) > 0\\\frac{{1 - m}}{{m - 5}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\{m^2} - 4m + 3 > 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m - 5} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 5.\)

Vậy \(m\in \left( 3;5 \right)=\left( a;b \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}  a=3 \\  b=5 \\ \end{align} \right.\,\,\xrightarrow{{}}\,\,a+b=8.\)

Chọn D