Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuô...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác đinh góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{align}\left( SBI \right)\bot \left( ABCD \right) \\\left( SCI \right)\bot \left( ABCD \right) \\\left( SBI \right)\cap \left( SCI \right)=SI \\\end{align} \right.\Rightarrow SI\bot \left( ABCD \right)\)

Kẻ \(IH\bot CD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot IH\\BC \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SH \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset IH \bot BC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;IH} \right)} = \widehat {SHI}\end{array}\)

Ta có: \({{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}\left( AB+CD \right).AD=\frac{1}{2}\left( 2a+a \right).2a=3{{a}^{2}}\)

\(\Rightarrow SI=\frac{3{{V}_{S.ABCD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{3.\frac{3\sqrt{15}{{a}^{3}}}{5}}{3{{a}^{2}}}=\frac{3\sqrt{15}}{5}a\) Gọi E là trung điểm của AB \(\Rightarrow EC=AD=2a\)

\(\begin{align}\Rightarrow BC=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{5} \\{{S}_{IBC}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{ABI}}-{{S}_{CDI}}=3{{a}^{2}}-\frac{1}{2}.a.2a-\frac{1}{2}.a.a=\frac{3}{2}{{a}^{2}} \\{{S}_{IBC}}=\frac{1}{2}IH.BC\Rightarrow IH=\frac{2{{S}_{IBC}}}{BC}=\frac{3a\sqrt{5}}{5} \\\Rightarrow \tan \widehat{SHI}=\frac{SI}{IH}=\sqrt{3}={{60}^{0}} \\\end{align}\)

Chọn A.