Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Tính đạo hàm của hàm trị tuyệt đối, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để biện luận số điểm cực trị 

Giải chi tiết:

Ta có \(y=\left| {{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+m \right|\Rightarrow {y}'=\frac{\left( 4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x \right)\left( {{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+m \right)}{\left| {{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+m \right|};\,\,\forall x\in D.\)

Phương trình  \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4{x^3} + 3{x^2} - x = 0\\
{x^4} + {x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + m = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \left\{ { - \,1;\,\,0;\,\,\frac{1}{4}} \right\}\\
- \,m = f\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - \frac{1}{2}{x^2}
\end{array} \right..\)

Để hàm số có 5 điểm cực trị \(\Leftrightarrow \,\,-\,m=f\left( x \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(\left\{ -1;\ 0;\ \frac{1}{4} \right\}.\) \(\left( * \right).\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}},\) có \({f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x;\,\,{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\left\{ -\,1;\,\,0;\,\,\frac{1}{4} \right\}.\)

Tính \(f\left( -\,1 \right)=-\frac{1}{2};\,\,f\left( 0 \right)=0;\,\,f\left( \frac{1}{4} \right)=-\frac{3}{256}.\)

Khi đó 

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
- \,m \ge 0\\
- \,m \in \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{3}{{256}}} \right]
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \le 0\\
m \in \left[ {\frac{3}{{256}};\frac{1}{2}} \right)
\end{array} \right..\)

Kết hợp với \(m\in \mathbb{Z}\) và \(m\in \left[ -\,5;5 \right],\) ta được \(m\in \left\{ -5;\ -4;\ -3;\ -2;\ -1;\ 0 \right\}\).

Vậy có 6 giá trị nguyên \(m\) cần tìm.

Chọn D