Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y =...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hàm số \(y=f\left( x \right)\) có tập xác định là D.

+) Nếu \(\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\) và \(f\left( -x \right)=f\left( x \right)\Rightarrow \) Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

+) Nếu \(\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\) và \(f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow \) Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Xét mệnh đề i):

\(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số chẵn thì \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\,\,g\left( x \right) = g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in R\)

Suy ra  \(f\left( x \right)+g\left( x \right)=f\left( -x \right)+g\left( -x \right)\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow S\left( x \right)=S\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\)

\(f\left( x \right)g\left( x \right)=f\left( -x \right)g\left( -x \right),\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow P\left( x \right)=P\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\)

Do đó \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng là những hàm số chẵn.

Vậy mệnh đề i) đúng.

Xét mệnh đề ii):

\(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số lẻ thì \( - f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\,\, - g\left( x \right) = g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in R\)

Suy ra \(-\left( f\left( x \right)+g\left( x \right) \right)=f\left( -x \right)+g\left( -x \right)\,,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow -S\left( x \right)=S\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\) do đó \(y = S\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Lại có \(f\left( x \right)g\left( x \right)=f\left( -x \right)g\left( -x \right),\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow P\left( x \right)=P\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\) nên \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

Vậy mệnh đề ii) đúng.

Xét mệnh đề iii):

\(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\,\, - g\left( x \right) = g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in R\)

Suy ra \(-f\left( x \right)g\left( x \right)=f\left( -x \right)g\left( -x \right),\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow -P\left( x \right)=P\left( -x \right),\,\,\,\forall x\in R\) nên \(y = P\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Vậy mệnh đề iii) đúng.

Vậy số mệnh đề đúng là \(3\).

Chọn C.