Tìm m để phương trình \(\left( {\cos x + 1} \right...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x} \right) = m\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 2x - m\cos x - m + m\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2{{\cos }^2}x - 1 - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{\cos ^2}x = \frac{{m + 1}}{2}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1) ta có: \(x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le \pi + k2\pi \le \frac{{2\pi }}{3}\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} \le k \le - \frac{1}{6}\\k \in Z\end{array} \right. \Rightarrow k \in \emptyset \)

Suy ra phương trình (1) không có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\)

Để phương trình ban đầu có đúng 1 nghiệm\(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\) thì phương trình (2) có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = m\)

\(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right] \Leftrightarrow 2x \in \left[ {0;\dfrac{{4\pi }}{3}} \right]\)

Để phương trình \(\cos 2x = m\) có đúng một nghiệm thì \( - \dfrac{1}{2} < m \leqslant 1\)

Chọn A.