1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:  \({x^2} +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1) Ta có: \({x^2} + 5{y^2} - 4xy + 4x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2y + 2)^2} + {(y + 2)^2} = 5 = {2^2} + 1\)

Vì \(x,\;\;y \in Z\) nên ta có các TH sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 2\\y + 2 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 =  - 2\\y + 2 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 =  - 2\\y + 2 =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 2\\y + 2 =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\y =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y =  - 4\\y =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y =  - 4\\y =  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 6\\y =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 6\\y =  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 10\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)

2) Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(x \ge y\). Đặt: \({x^2} + 3y = {k^2};k > 0\)

Theo đề bài ta có x, y là các số nguyên dương nên \(k > x\), đặt \(k = x + t\)  với \(t > 0.\)

Nếu \(t \ge 2\) thì ta có: \({k^2} = {(x + t)^2} = {x^2} + 2xt + {t^2} > {x^2} + 2tx > {x^2} + 4x > {x^2} + 3x \ge {x^2} + 3y\). Mâu thuẫn.

Vậy \(t = 1.\)  Do đó: \(k = (x + 1) \Rightarrow {x^2} + 3y = {(x + 1)^2} \Rightarrow 3y = 2x + 1\)

Từ đây dễ có: \(x = \frac{{3y - 1}}{2} < 2y \Rightarrow {y^2} + 3x < {y^2} + 6y < {(y + 3)^2}\)

Đặt: \({y^2} + 3x = {z^2},\;\;z > 0,\;\;y < z < y + 3\). Ta có 2 trường hợp sau đây:

TH1: \(z = y + 1\)  nên: \({y^2} + 3x = {(y + 1)^2} \Rightarrow 3x = 2y + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 2y + 1\\3y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1.\)

TH2: \(z = y + 2\)  nên \({y^2} + 3x = {(y + 2)^2} \Rightarrow 3x = 4y + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 4y + 4\\3y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 11\end{array} \right..\)

Vậy có các cặp số thỏa mãn là: \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

Chọn D