Cho biểu thức: \(P=\frac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-1}+...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Biểu thức có nghĩa nếu các mẫu thức đều khác \(0\).

- Áp dụng các quy tắc cộng, trừ phân thức để rút gọn \(P\).

- Biến đổi biểu thức \(P\) sau khi rút gọn về dạng \(A\left( a \right)+\frac{m}{B\left( a \right)}\) với \(A\left( a \right),B\left( a \right)\) là các đa thức của biến \(a\) khi đó để \(P\in Z\) thì \(B\left( a \right)\) là ước của \(m\).

Giải chi tiết:

\(P=\frac{2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-1}+\frac{a}{a+1}-\frac{a}{a-1}\)

a) ĐKXĐ của \(P\) là: \(a\ne \pm 1\)

\(\begin{array}{l}b)P = \frac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \frac{{a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} - \frac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}\\P = \frac{{2{a^2} + {a^2} - a - {a^2} - a}}{{{a^2} - 1}}\\P = \frac{{2{a^2} - 2a}}{{(a - 1)(a + 1)}}\\P = \frac{{2a(a - 1)}}{{(a - 1)(a + 1)}}\\P = \frac{{2a}}{{a + 1}}\end{array}\)

c) Với điều kiện \(a\ne \pm 1\)

\(P=\frac{2a}{a+1}=\frac{2\left( a+1 \right)-2}{a+1}=2-\frac{2}{a+1}\)

\(P\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{2}{a+1}\) có giá trị nguyên hay \(a+1\in U\left( 2 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}\)

\(\Rightarrow a\in \left\{ -2;0;-3;1 \right\}\).

Kết hợp với \(a\ne \pm 1\) ta được \(a\in \left\{ -3;-2;0 \right\}\).

 chọn C