Trong không gian với hệ tọa độ , cho điể...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên (Q) và đường thẳng \(\Delta \).

+) Khoảng  cách từ A đến  (Q) lớn nhất khi và chỉ khi \(AK \bot \left( Q \right)\).

+) Viết phương trình mặt phẳng (Q), xác định giao điểm của (Q) với các trục tọa độ và tính thế tích.

Giải chi tiết:

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên (Q) và đường thẳng \(\Delta \).

Ta có \(AH \le AK \Rightarrow d{\left( {A;\left( Q \right)} \right)_{\max }} \Leftrightarrow \left( Q \right) \bot AK\).

\(K\left( {2t + 1;t; - t - 1} \right) \in \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \left( {2t;t + 1; - t - 2} \right) \bot \Delta \)

\( \Rightarrow 2.2t + t + 1 + t + 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{2} \Rightarrow K\left( {0; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \left( { - 1;\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 2;1; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow \left( { - 2;1; - 3} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( Q \right)\) và \(M\left( {1;0; - 1} \right) \Rightarrow \)  Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\, - 2x + y - 3z - 1 = 0\).

Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của (Q) và các trục Ox, Oy, Oz ta có \(A\left( { - \frac{1}{2};0;0} \right);\,\,B\left( {0;1;0} \right);\,\,C\left( {0;0; - \frac{1}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{6}.\frac{1}{2}.1.\frac{1}{3} = \frac{1}{{36}}\).

Chọn A.