Cho hàm số \(y = f(x)\)liên tục trên đoạn \(\left[...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\tan \,xdx}  = \int {\frac{{\sin \,xdx}}{{\cos x}}}  =  - \int {\frac{{d(\cos x)}}{{\cos x}}}  =  - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

\(f'(x) = \tan \,x,\,\,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right){\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) =  - \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1},\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\\f(x) =  - \ln \left| {\cos x} \right| + {C_2},\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\end{array} \right.\)

Mà \(f(0) = 0,\,\,f(\pi ) = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \ln 1 + {C_1} = 0\\ - \ln 1 + {C_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} = 0\\{C_2} = 1\end{array} \right.\)   \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) =  - \ln \left| {\cos x} \right|,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\\f(x) =  - \ln \left| {\cos x} \right| + 1,\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \ln \left| {\cos \frac{{2\pi }}{3}} \right| + 1 = \ln 2 + 1\\f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - \ln \left| {\cos \frac{\pi }{4}} \right| = \frac{1}{2}\ln 2\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{{2\left( {\ln 2 + 1} \right)}}{{\ln 2}} = 2(1 + {\log _2}e)\)

Chọn: A