Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {BAC} = \w...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma  \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha  \right) \cap \left( \gamma  \right),b = \left( \beta  \right) \cap \left( \gamma  \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\)

Giải chi tiết:

Kẻ \(AH \bot BC,\,\,(H \in BC)\).

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (ABC) \Rightarrow AD \bot BC\)

Mà \(BC \bot AH \Rightarrow \) \(BC \bot (ADH) \Rightarrow \left( {\widehat {(ABC);(BCD)}} \right) = \left( {\widehat {AH;DH}} \right) = \widehat {DHA}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A, \(AH \bot BC\) \( \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{5}{4}\)\( \Rightarrow AH = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)

 \(\Delta AHD\) vuông tại A:  \(DH = \sqrt {A{H^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2} + {3^2}}  = \frac{7}{{\sqrt 5 }}\) \( \Rightarrow \cos \widehat {DHA} = \frac{{AH}}{{DH}} = \frac{{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{7}{{\sqrt 5 }}}} = \frac{2}{7}\)

 \( \Rightarrow \cos \left( {\widehat {(ABC);(BCD)}} \right) = \frac{2}{7}\).

Chọn: B