Cho hình chóp tam giác đều S.ABC...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi E là trung điểm của MN, tính AE.

+) Tính \({{S}_{AMN}}=\frac{1}{2}AE.MN\)

Giải chi tiết:

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)\)

Gọi E là trung điểm của MN, ta chứng minh được E là trung điểm của SD.

\(SD\bot MN\) (do tam giác SMN cân tại S).

Dễ dàng chứng minh được tam giác AMN cân tại A \(\Rightarrow AE\bot MN\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & \left( AMN \right)\bot \left( SBC \right) \\ & \left( AMN \right)\cap \left( SBC \right)=MN \\ & \left( SBC \right)\supset SD\bot MN \\\end{align} \right.\Rightarrow SD\bot \left( AMN \right)\Rightarrow SD\bot AE\)

\(\Rightarrow \Delta SAD\) cân tại A \(\Rightarrow SA=AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Ta có \(AO=\frac{2}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{3};\,\,OD=\frac{1}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)  

Xét tam giác vuông SAO có : \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}\)

Xét tam giác vuông SOD có: \(SD=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow ED=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

Xét tam giác vuông AED có: \(AE=\sqrt{A{{D}^{2}}-E{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\)

Có \(MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\Rightarrow {{S}_{AMN}}=\frac{1}{2}AE.MN=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{10}}{4}.\frac{a}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}\)  

Chọn B.