Trong không gian \(Oxyz,\)  cho hai đường thẳng \(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đoạn thẳng AB nhỏ nhất khi AB chính là độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’

Giải chi tiết:

Để \(AB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow \,\,AB\) là đoạn vuông góc chung của \(d,\,\,{d}'.\)

Gọi \(A\in d\Rightarrow \,\,A\left( 1+a;2-a;a \right)\) và \(B\in {d}'\Rightarrow \,\,B\left( 2b;1+b;2+b \right)\)\(\Rightarrow \)\(\overrightarrow{AB}=\left( 2b-a-1;a+b-1;b-a+2 \right).\)

Vì 

\(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot d\\
AB \bot d'
\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_d} = 0\\
\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_{d'}} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
2b - a - 1 - a - b + 1 + b - a + 2 = 0\\
2\left( {2b - a - 1} \right) + a + b - 1 + b - a + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
- \,3a + 2b + 2 = 0\\
- \,2a + 6b - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \frac{1}{2}
\end{array} \right..\)

Vậy \(A\left( 2;1;1 \right),\,\,B\left( 1;\frac{3}{2};\frac{5}{2} \right)\Rightarrow \,\,\overrightarrow{AB}=\left( -\,1;\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)=-\,\frac{1}{2}\left( 2;-\,1;-\,3 \right)\Rightarrow \,\,\left( AB \right):\frac{x-2}{-\,2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}.\)

Chọn B