Cho hình chóp tam giác S.ABC có G

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (a):

Chọn mp phụ  (b) chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của mp (a) và mp (b) dễ xác định Tìm giao tuyến b của mp (a) và mp (b)  b cắt a tại I, khi đó I là giao điểm của a và mặt phẳng (a).

Giải chi tiết:

a) Gọi M là trung điểm của AB, do G là trọng tâm tam giác ABC

\( \Rightarrow \) M, G, C thẳng hàng

Trong (SAB), gọi I là giao điểm của SM và A’B’

Trong (SMC), gọi G’ là giao điểm của IC’ và SG

Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}G' \in SG\\G' \in IC' \subset \left( {A'B'C'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G' = SG \cap \left( {A'B'C'} \right)\)

b) * Ta chứng minh: \(\frac{{3SG}}{{SG'}} = \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}}\) với A’, B’, C’ là 3 điểm bất kì lần lượt nằm trên các đoạn SA, SB, SC (khác S):

G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow {S_{\Delta ABG}} = {S_{\Delta BCG}} = {S_{\Delta ACG}} \Rightarrow {V_{S.ABG}} = {V_{S.ACG}} = {V_{S.BCG}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABG}} = {V_{S.ACG}} = {V_{S.BCG}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{3}\)

Đặt \({V_{S.ABC}} = V;\,\,\,{V_{S.ABG}} = {V_{S.ACG}} = {V_{S.BCG}} = {V_0}\,\, \Rightarrow V = 3{V_0}\)

Gọi thể tích khối chóp S.A’B’C’ là \(V' \Rightarrow V' = {V_{S.A'B'G'}} + {V_{S.A'C'G'}} + {V_{S.B'C'G'}}\)

\( \Rightarrow \frac{{V'}}{{{V_0}}} = \frac{{{V_{S.A'B'G'}}}}{{{V_0}}} + \frac{{{V_{S.A'C'G'}}}}{{{V_0}}} + \frac{{{V_{S.B'C'G'}}}}{{{V_0}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{V'}}{{\frac{1}{3}V}} = \frac{{SA'.SB'.SG'}}{{SA.SB.SG}} + \frac{{SC'.SB'.SG'}}{{SC.SB.SG}} + \frac{{SA'.SC'.SG'}}{{SA.SC.SG}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3.\frac{{SA'.SB'.SC'}}{{SA.SB.SC}} = \frac{{SG'}}{{SG}}\left( {\frac{{SA'.SB'}}{{SA.SB}} + \frac{{SC'.SB'}}{{SC.SB}} + \frac{{SA'.SC'}}{{SA.SC}}} \right)\\ \Leftrightarrow 3.\frac{{SA'.SB'.SC'}}{{SA.SB.SC}} = \frac{{SG'}}{{SG}}.\frac{{SA'.SB'.SC + SC'.SB'.SA + SA'.SC'.SB}}{{SA.SB.SC}}\\ \Leftrightarrow 3SA'.SB'.SC' = \frac{{SG'}}{{SG}}.\left( {SA'.SB'.SC + SC'.SB'.SA + SA'.SC'.SB} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{3SG}}{{SG'}} = \frac{{SA'.SB'.SC + SC'.SB'.SA + SA'.SC'.SB}}{{SA'.SB'.SC'}}\\ \Leftrightarrow \frac{{3SG}}{{SG'}} = \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}}\,\,(dpcm)\end{array}\)

* Chứng minh: \(\frac{{3SG}}{{SG'}} - \frac{{SC}}{{SC'}}\) có giá trị không đổi:

Ta có: \(\frac{{3SG}}{{SG'}} = \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} \Leftrightarrow \frac{{3SG}}{{SG'}} - \frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} = 2 + 2 = 4\) (do A’, B’ lần lượt là trung điểm của SA, AB).