Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng được khoảng cách giữa A và (SBE) ( I là hình chiếu của

A lên BE và K là hình chiếu của A lên SI) là đoạn AK

Giải chi tiết:

Trong mp(ABCD) kẻ \(AI \bot BE\,\,\left( {I \in BE} \right)\) ta có: \(\left\{ \matrix{  BE \bot AI \hfill \cr   BE \bot SA \hfill \cr}  \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAI} \right)\)

Trong (SAI) kẻ \(AK \bot SI\) ta có:  \(\left\{ \matrix{  AK \bot SI \hfill \cr   AK \bot BE \hfill \cr}  \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBE} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AK = {{2a} \over 3}.\)

Ta có: \(\widehat {BAI} = \widehat {EBC}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABE}\)) nên \(\cos \widehat {BAI} = \cos \widehat {EBC} = {{BC} \over {BE}} = {a \over {\sqrt {{a^2} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{2\sqrt 5 } \over 5}\).

\( \Rightarrow AI = AB.\cos \widehat {BAI} = {{2\sqrt 5 } \over 5}a\)

Xét tam giác SAI vuông tại A \( \Rightarrow {1 \over {A{K^2}}} = {1 \over {S{A^2}}} + {1 \over {A{I^2}}} \Rightarrow {1 \over {S{A^2}}} = {9 \over {4{a^2}}} - {5 \over {4{a^2}}} = {1 \over {{a^2}}} \Rightarrow SA = a.\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}SA.{S_{ABCD}} = {1 \over 3}a.{a^2} = {{{a^3}} \over 3}.\)

Chọn B.