Cho các số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left|...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Công thức Moa-vrơ: \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) \Rightarrow {z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi  + i\sin n\varphi } \right)\).

Giải chi tiết:

Gọi P, Q lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_2},\,\,3{z_2}\).

\(T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right| = \left| {z_1^2 + z_3^2} \right|\)

Đặt \({z_2} = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow i{z_2} =  - b + ai\). Khi đó, \(N\) là ảnh của P qua phép quay góc \({90^0}\). Ta có 2 trường hợp sau:

+) TH1: \(\widehat {MOQ} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)

Đặt \({z_1} = 6\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) \Rightarrow {z_3} = 6\left( {\cos \left( {\varphi  + {{30}^0}} \right) + i\sin \left( {\varphi  + {{30}^0}} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow z_1^2 = 36\left( {\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi } \right),\,\,z_3^2 = 36\left( {\cos \left( {2\varphi  + {{60}^0}} \right) + i\sin \left( {2\varphi  + {{60}^0}} \right)} \right)\)

\(T = \left| {z_1^2 + z_3^2} \right| = \left| {36\left( {\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi } \right) + 36\left( {\cos \left( {2\varphi  + {{60}^0}} \right) + i\sin \left( {2\varphi  + {{60}^0}} \right)} \right)} \right|\)\( = \left| {36\left( {\cos 2\varphi  + \cos \left( {2\varphi  + {{60}^0}} \right)} \right) + 36i\left( {\sin 2\varphi  + \sin \left( {2\varphi  + {{60}^0}} \right)} \right)} \right|\)\( = \left| {36.2.\cos \left( {2\varphi  + {{30}^0}} \right).\cos {{30}^0} + 36.2.2i.\sin \left( {2\varphi  + {{30}^0}} \right).\cos {{30}^0}} \right|\)

\( = 36\sqrt 3 \left| {\cos \left( {2\varphi  + {{30}^0}} \right) + i.\sin \left( {2\varphi  + {{30}^0}} \right)} \right|\)\( = 36\sqrt 3 \)

+) TH2: \(\widehat {MOQ} = {90^0} + {60^0} = {150^0}\)

Đặt \({z_1} = 6\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) \Rightarrow {z_3} = 6\left( {\cos \left( {\varphi  + {{150}^0}} \right) + i\sin \left( {\varphi  + {{150}^0}} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow z_1^2 = 36\left( {\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi } \right),\,\,z_3^2 = 36\left( {\cos \left( {2\varphi  + {{300}^0}} \right) + i\sin \left( {2\varphi  + {{300}^0}} \right)} \right)\)

\(T = \left| {z_1^2 + z_3^2} \right| = \left| {36\left( {\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi } \right) + 36\left( {\cos \left( {2\varphi  + {{300}^0}} \right) + i\sin \left( {2\varphi  + {{300}^0}} \right)} \right)} \right|\)\( = \left| {36\left( {\cos 2\varphi  + \cos \left( {2\varphi  + {{300}^0}} \right)} \right) + 36i\left( {\sin 2\varphi  + \sin \left( {2\varphi  + {{300}^0}} \right)} \right)} \right|\)\( = \left| {36.2.\cos \left( {2\varphi  + {{150}^0}} \right).\cos {{150}^0} + 36.2.2i.\sin \left( {2\varphi  + {{150}^0}} \right).\cos {{150}^0}} \right|\)

\( = 36\sqrt 3 \left| {\cos \left( {2\varphi  + {{150}^0}} \right) + i.\sin \left( {2\varphi  + {{150}^0}} \right)} \right|\)\( = 36\sqrt 3 \)

Vậy, \(T = 36\sqrt 3 \).

Chọn: C