Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\({\left( {{x^k}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {x^k}.f'\left( x \right) + k{x^{k - 1}}.f\left( x \right),\,\,k \in \mathbb{N}.\) Chọn \(k = 3\), ta có:  \({\left( {{x^3}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {x^3}.f'\left( x \right) + 3{x^2}.f\left( x \right)\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(3f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = {x^{2018}}\, \Rightarrow {x^3}.f'\left( x \right) + 3{x^2}.f\left( x \right) = {x^{2020}} \Leftrightarrow {\left( {{x^3}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {x^{2020}}\)

\( \Rightarrow \int {{{\left( {{x^3}.f\left( x \right)} \right)}^\prime }dx}  = \int {{x^{2020}}} dx \Leftrightarrow {x^3}.f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{2021}}}}{{2021}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{2018}}}}{{2021}} + \dfrac{C}{{{x^3}}}\)

Do \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{2018}}}}{{2021}}\)

\(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^{2018}}}}{{2021}}dx}  = \left. {\left( {\dfrac{{{x^{2019}}}}{{2019.2021}}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{{2019.2021}}\).

Chọn: C