Với \(a,b > 0\) thỏa mãn ab + a + b = 1 thì giá...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN (GTNN) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

Bước 1: Tính \(f'\left( x \right)\)

Bước 2: Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) suy ra các nghiệm  \({x_1};{x_2};...;{x_n} \in \left[ {a;b} \right]\)

Bước 3:  So sánh các giá trị \(y\left( {{x_1}} \right);y\left( {{x_2}} \right);...;y\left( {{x_n}} \right)\) . GTLN (GTNN) trong các giá trị trên chính là GTLN (GTNN) của hàm số trên \(\left[ {a;b} \right]\)

Giải chi tiết:

\(P = {a^4} + {b^4} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} - 2{a^2}{b^2} = {\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right]^2} - 2{a^2}{b^2} = {\left[ {{{\left( {1 - ab} \right)}^2} - 2ab} \right]^2} - 2{a^2}{b^2}\)

Đặt \(ab = x\) ta có: \(P\left( x \right) = {\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2} - 2x} \right]^2} - 2{x^2} = {\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)^2} - 2{x^2}\,\,\)

Ta có: \(a + b = 1 - ab \ge 2\sqrt {ab}  \Rightarrow x + 2\sqrt x  - 1 \le 0 \Leftrightarrow 0 \le \sqrt x  \le \sqrt 2  - 1 \Rightarrow 0 \le x \le 3 - 2\sqrt 2 \)

 \( \Rightarrow P = {x^4} + 16{x^2} + 1 - 8{x^3} - 8x + 2{x^2} - 2{x^2} = {x^4} - 8{x^3} + 16{x^2} - 8x + 1\,\,\,\,;\,\,x \in \left[ {0;3 - 2\sqrt 2 } \right]\)

 \(P'\left( x \right) = 4{x^3} - 24{x^2} + 32x - 8 = 0 \Rightarrow \left[\matrix{x \simeq 4,21 \notin \left[ {0;3 - 2\sqrt 2 } \right] \hfill \cr x \simeq 1,46 \notin \left[ {0;3 - 2\sqrt 2 } \right] \hfill \cr x \simeq 0,32 \notin \left[ {0;3 - 2\sqrt 2 } \right] \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{ & P\left( 0 \right) = 1 \cr & P\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 2{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^4} < 1 \cr} \)

Vậy \({P_{\min }} = 2{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^4}\)

Chọn B.