Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhân liên hợp với biểu thức ở VT, chuyển vế, đưa bất phương trình về dạng tích.

Giải chi tiết:

ĐK: \( - 2 \le x \le 2\).

Với điều kiện trên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {2x + 4}  - 2\sqrt {2 - x}  \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {2x + 4}  - 2\sqrt {2 - x} } \right)\left( {\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} } \right)}}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 4 - 4\left( {2 - x} \right)}}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x - 4}}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \left( {6x - 4} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) \ge 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có \(5\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 5 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} \le \dfrac{1}{5} \Rightarrow  - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge  - \dfrac{1}{5}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :

\(\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x}  = \sqrt 2 \sqrt {x + 2}  + 2\sqrt {2 - x}  \le \sqrt {\left[ {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {2^2}} \right]\left( {x + 2 + 2 - x} \right)}  = \sqrt {6.4}  = 2\sqrt 6  < 5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} > \dfrac{1}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\end{array}\) 

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow 6x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}\).

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\dfrac{2}{3};2} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow P = 3a - 2b =  - 2\).

Chọn B.