Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để hàm số xác định trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

- Tính \(y'\).

- Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) nếu \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\).

Giải chi tiết:

Điều kiện:

\({x^2} - x + m \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right) \Leftrightarrow m \ge  - {x^2} + x,\forall x < 2\)

Xét hàm \(f\left( x \right) =  - {x^2} + x\) trong \(\left( { - \infty ;2} \right)\) có \(f'\left( x \right) =  - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)

\(f\left( x \right) \le f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{4}\) nên \(m \ge  - {x^2} + x,\forall x < 2 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{4}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + m} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - x + m}  - 2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + m} }}\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x < 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - x + m}  \ge 2x - 1,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\,\,\,\left( * \right)\)

Dễ thấy với \(x \le \dfrac{1}{2}\) thì \(\left( * \right)\) luôn đúng.

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - x + m \ge {\left( {2x - 1} \right)^2},\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x + m \ge 4{x^2} - 4x + 1 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x + 1 - m \le 0\) \( \Leftrightarrow m \ge 3{x^2} - 3x + 1,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)\)

Xét \(g\left( x \right) = 3{x^2} - 3x + 1\) có \(g'\left( x \right) = 6x - 3 > 0,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\) nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\) hay \(g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) < g\left( x \right) < g\left( 2 \right)\).

Suy ra \(m \ge 3{x^2} - 3x + 1,\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right) \Leftrightarrow m \ge g\left( 2 \right) = 7\).

Kết hợp với \(m \ge \dfrac{1}{4}\) ta được \(m \ge 7\).

Chọn A.