Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên liên tiếp bao...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất các số nguyên tố cùng nhau bằng cách xác định điểm nổi bật của dãy.

Giải chi tiết:

Gọi dãy liên tiếp là \(a;\,\,a+1;\,\,a+2;\,\,a+3;\,\,a+4\).

Xét \(a = 1;2;3;4;5\) đúng.

Xét \(a>5\) ta thấy : trong dãy số trên luôn tồn tại một số lẻ có ước nguyên tố lớn hơn 3.

Thật vậy: Trong dãy số trên tồn tại ít nhất hai số lẻ và có nhiều nhất 2 số chia hết cho 3. Nếu cả hai số lẻ này đều chia hết cho 3 thì giữa chúng có chưa ít nhất 5 số khác. Điều này vô lí.

Vậy chỉ có duy nhất một số lẻ trong dãy trên chia hết cho 3 hay nói cách khác số lẻ còn lại luôn có ước lẻ lớn hơn 3.

Ta đi chứng minh số đó nguyên tố cùng nhau với bốn số còn lại.

Gọi số đó là \(b\).

Giả sử phản chứng tồn tại số c không nguyên tố cùng nhau với .

Khi đó: Đặt \(d = \left( {b;c} \right) > 1 \Rightarrow d|\left| {b - c} \right| < 5\)

Mà \(d|b\) nên \(d\) là một ước lẻ của \(b\) và \(d > 3\)  nên \(d\ge 5\)  (mâu thuẫn với điều kiện)

Vậy trong 5 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng chọn được một số nguyên tố cùng nhau với các số còn lại (đpcm)