Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm....

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phá căn thức tìm mối liên hệ của x với a.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}b)\,\,\sqrt {x + 1 + \sqrt {x + \dfrac{3}{4}} }  + x = a \Leftrightarrow \sqrt {x + \dfrac{3}{4} + 2.\sqrt {x + \dfrac{3}{4}} .\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}}  + x = a\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + \dfrac{3}{4}}  + \dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  + x = a \Leftrightarrow \sqrt {x + \dfrac{3}{4}}  + \dfrac{1}{2} + x = a\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(\sqrt {x + \dfrac{3}{4}}  = t \ge 0 \Rightarrow x = {t^2} - \dfrac{3}{4}\)

Thay vào ( 1) ta được: \({t^2} - \dfrac{3}{4} + t + \dfrac{1}{2} = {t^2} + t - \dfrac{1}{4} = a\)

Với \(t \ge 0 \Rightarrow {t^2} \ge 0 \Rightarrow {t^2} + t - \dfrac{1}{4} \ge  - \dfrac{1}{4} \Rightarrow a \ge  - \dfrac{1}{4}\)

Vậy với \(a \ge  - \dfrac{1}{4}\) thì phương trình có nghiệm.

Mặt khác: \({t^2} + t - \dfrac{1}{4} = a \Leftrightarrow {t^2} + t + \dfrac{1}{4} = a + \dfrac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {t + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = a + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \sqrt {a + \dfrac{1}{2}}  - \dfrac{1}{2}\\t =  - \sqrt {a + \dfrac{1}{2}}  - \dfrac{1}{2} < 0\,\,\,\left( {ktm\,\,t \ge 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = {t^2} - \dfrac{3}{4} \Rightarrow x = {\left( {\sqrt {a + \dfrac{1}{2}}  - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4}\)

Vậy \(x = {\left( {\sqrt {a + \dfrac{1}{2}}  - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4}\).