Cho phương trình\({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện của Delta để phương trình có 2 nghiệm.

- Kết hợp điều kiện + định lí Vi-et ta được 3 phương trình 3 ẩn \({x_1};{x_2};m\). Giải hệ phương trình tìm m.

Giải chi tiết:

Phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow 2m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \frac{1}{2}\)

Theo định lý Viét ta có\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2}\end{array} \right.\)

Ta có:

\({({x_1} - m)^2} + {x_2} = m + 2 \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}m + {m^2} + {x_2} = m + 2 \Leftrightarrow {x_1}\left( {{x_1} - 2m} \right) + {m^2} + {x_2} = m + 2\)

Thay \({x_1} - 2m = 2 - {x_2};{m^2} = {x_1}{x_2}\) vào ta có: \({x_1}\left( {2 - {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} + {x_2} = m + 2 \Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} = m + 2\)

Từ đó ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\2{x_1} + {x_2} = m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - m\\{x_2} = 3m + 2\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} = {x_1}{x_2} =  - m(3m + 2) \Rightarrow 4{m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

+ Với \(m = 0\) ta có: \((1) \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_2} = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn đề bài)

+ Với \(m =  - \frac{1}{2}:(1) \Leftrightarrow {x^2} - x + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn đề bài)

Vậy \(m \in \left\{ {0; - \frac{1}{2}} \right\}\).